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实分析笔记

集合论

集合的代数运算性质

满足幂等性、零元性、交换性、结合律、分配律、单调性

$$ S - \bigcup_{i=1}^{\infty}E_{i} = \bigcap_{i=1}^{\infty}\left(S-E_i\right) $$

$$ S - \bigcap_{i=1}^{\infty}E_{i} = \bigcup_{i=1}^{\infty}\left(S-E_i\right) $$

上限集和下限集

$$ \varliminf_{n \to \infty}E_n = \bigcup_{m=1}^{\infty} \bigcap_{n=m}^{\infty} E_n$$

$$ \varlimsup_{n \to \infty}E_n = \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} E_n$$

$$ \bigcap_{i=1}^{\infty}E_i \subset \varliminf_{n \to \infty}E_n
\subset \varlimsup_{n \to \infty}E_n \subset \bigcup_{i=1}^{\infty}E_i $$

集合的特征函数

$$
% 特征函数定义
\begin{eqnarray*}\chi_{E}(t)=
\begin{cases}
1, &t \in E\cr 0, &x \notin E
\end{cases}
\end{eqnarray*}
$$

$$\chi_{\cap_{i=1}^{\infty} E_i}\left(t\right) = \prod_{i=1}^{\infty}\chi_{E_i}\left(t\right) $$

$$\chi_{\cup_{i=1}^{\infty} E_i}\left(t\right) = \max_{i}\{\chi_{E_i}(t)\} $$

映射和基数

$\varphi$ 是一个映射,则

$$\varphi(A\cup B) = \varphi(A) \cup \varphi(B) $$
$$\varphi(A\cap B) \subset \varphi(A) \cap \varphi(B) $$
$$\varphi(A-B) \supset \varphi(A) - \varphi(B) $$

Bernstein 定理:
$$
\bar{\bar{A}} \leq \bar{\bar{B}},\bar{\bar{A}} \geq \bar{\bar{B}} \rightarrow
\bar{\bar{A}} = \bar{\bar{B}}
$$

可数集合

$E_i (i=1,2,3,\dots)$ 为可数集,则基数为 $\bar {\bar {E_i}} = a$,且以下为可测集:
$$\bigcup_{i=1}^{N}E_i,\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i,\prod_{i=1}^{N}E_i$$

不可数集

$E_i (i=1,2,3,\dots)$ 为不可数集,则基数为 $\bar {\bar {E_i}} = c$,且以下为不可测集:
$$\bigcup_{i=1}^{N}E_i,\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i,\prod_{i=1}^{N}E_i,\prod_{i=1}^{\infty}E_i$$
$A_i (i=1,2,3,\dots)$ 为集合列,基数为 $2 \leq \overline {\overline {A_i}} \leq c$,则成立:
$$\overline{\overline{\prod_{i=1}^{\infty}A_i}} = c$$

$$ \overline{\overline{E}} = c,E = A\sqcup B \rightarrow \overline{\overline{A}} = c \cup \overline{\overline{B}} = c $$

距离

$(R^n,d)$ 称为距离空间,$x,y$ 为 $R^n$ 中两个点,$d (x,y)$ 是一个距离映射,满足

$$d(x,y) \geq 0 ,d(x,y) = d(y,x),d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) $$

$x_0$ 的 $\delta$ 邻域为:

$$ \circ (x_0,\delta) = \{x|d(x,x_0) < \delta)\} $$

$A,B$ 为两个集合,距离为:

$$
d(A,B) = \min_{x\in A,y\in B}\{d(x,y)\}
$$

$x_0$ 为 $R^n$ 中的点,$E$ 为 $R^n$ 的集合,则

$$
d(x_0,E) = \min_{x\in E}\{d(x_0,x)\}
$$

$d (x_0,E)$ 具有一直连续性。

$E$ 为 $R^n$ 的集合,直径为:

$$
\max_{x,y \in A} \{d(x,y)\}
$$

点和集合的关系

$x_0$ 为 $E$ 内点:

$$ \exists \bigcirc(x_0,\delta_0) \subset E$$

$x_0$ 为 $E$ 外点:

$$ \exists \bigcirc(x_0,\delta_0) ⊄ E$$

$x_0$ 为 $E$ 界点:

$$ \forall x \in \bigcirc(x_0,\delta) , x \in E \cup x \notin E$$

$x_0$ 为 $E$ 聚点:

$$
\exists x_n\in E (n=1,2,3,\dots), \lim_{n\to \infty}x_n = x_0
$$

$$ \forall \bigcirc(x_0,\delta) , \exists x \in \bigcirc(x_0,\delta),x \neq x_0,x \in E$$

$x_0$ 为 $E$ 孤立点:

$$ \forall \bigcirc(x_0,\delta) , \forall x \in \bigcirc(x_0,\delta),x \neq x_0,x \notin E$$

$E$ 的内部:

$$ E^O = \{ x| \exists \bigcirc(x,\delta_0) \subset E\}$$

$E$ 的导集:

$$ E^{\prime} = \{ x| \forall \bigcirc(x,\delta),\exists x_0 \in \bigcirc(x,\delta) - \{x\} ,x_0 \in E \}$$

$E$ 的闭包:

$$ \overline{E} = \partial E \cup E^o $$
$$ \overline{E} = E^{\prime} \cup E $$

$E$ 为开集:

$$ E \subset E^o $$

$E$ 为闭集:

$$ E^{\prime} \subset E $$

常见开集:$E^o$,常见闭集:$E^{\prime}$、$\overline {E}$.

运算性质:

$$
A\subset B,A^o\subset B^o,A^{\prime}\subset B^{\prime},\overline{A}\subset \overline{B}
$$

开集的补集为闭集,闭集的补集为开集:

开集的任意并为开集,有限交为开集;闭集的任意交为闭集,有限并为闭集。

$$
\overline{A^o} = (\overline{A})^0
$$

$R^n$ 中即开又闭的集合为:$R^n$ 和 $\varnothing$.

$E$ 为闭集,则可写成一列开集($\bigcup_{n=1}^{\infty} d (x,{E}) = \frac {1}{n}$)的并。

$E$ 为开集,则可写成一列构成区间($\bigcup_{i=1}^{\infty}(\alpha_{i},\beta_{i})$)的并。

有界闭集必存在聚点。

有界闭集必存在有限开覆盖。

紧集:任何一列开覆盖都存在有限子覆盖。$R^n$ 中的紧集等价于有界闭集。

$E$ 为自密集:

$$
E \subset E^{\prime}
$$

$E$ 为完备集:

$$
E = E^{\prime}
$$

$E$ 为疏朗集:E 中任意点都存在邻域与 E 的补的交集有内点。

Cantor 三分集的作法性质,是测度为 0 基数为 c 的疏朗完备集。

测度

测度:
$$
\varphi : E \rightarrow R^{+}
$$

外测度:

$$
m^{*}(E) = \inf_{E \subset \cup_{i=1}^{\infty}I_i} \sum_{i=1}^{\infty}|I_i|
$$

外测度性质:

$$
\begin{align}
m^{*}(\varnothing) = 0 \\
A \subset B,m^{*}(A) \leq m^{*}(B) \\
m^{*}(\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i) \leq \sum_{i=1}^{\infty} m^{*}E_i
\end{align}
$$

区间 $I$ 的外测度:

$$
m^{*}I = |I|
$$

不可测集的构造

可测集

可测集的定义

卡氏条件:

$$
\forall T,m^{*}T = m^{*}(E \cap T) + m^{*}(E \cap T^c)
$$

等价定义:

$$
\forall A,B , A\cap B = \varnothing ,m^{*}E = m^{*}(E \cap A) + m^{*}(E \cap B)
$$

可测集的运算

可测集的可列并、可列交、上限集、下限集均为可测集。

$E_n (n=1,2,3,\dots)$ 为一列可测集,满足 $E_1\supset E_2\supset E_3\dots$ 且 $m^{*} E_1 < \infty$,则

$$
m^{*}(\cap_{n=1}^{\infty}E_n) = \lim_{n\to \infty} m^{*}E_n
$$

$$
m^{*}(\varliminf_{n=1}^\infty E_n) \leq \varliminf_{n=1}^\infty(m^{*}E_n)
$$

常见的可测集

所有开集、闭集、空集、外测度为 0 的集合、区间

$\sigma-filed$ 为集簇满足:

$$
\begin{cases}
\varnothing \in \sigma \\
E \in \sigma \rightarrow E^c \in \sigma \\
E_i(i=1,2,3,\dots) \in \sigma \rightarrow \cup_{i=1}^{\infty}E_i \in \sigma
\end{cases}
$$

Borel 集为 $R^n$ 全体开集生成的 $\sigma-filed$.

$G_\delta$:为开集的可列交

$F_\sigma$:为闭集的可列并

可测集的五条等价定义:

  • $E$ 为可测集。
  • $\forall \delta>0,\exists$ 开集 $G \supset E$,使得 $m (G-E) < \delta$.
  • $\forall \delta>0,\exists$ 闭集 $F \subset E$,使得 $m (E-F) < \delta$.
  • $\exists G_\delta$,使得 $m (G_\delta-E) = 0$.
  • $\exists F_\sigma$,使得 $m (E-F_\sigma) = 0$.

可测函数

可测函数的定义

$f$ 为可测函数,即对 $\forall c\in R,E_{[f>c]}$ 为可测集:

$$E_{[f>c]} = \{x|f(x)>c\}$$

$f$ 为可测函数,等价定义 $\forall c\in R$

  • $E_{[f\geq c]}$ 为可测集
  • $E_{[f < c]}$ 为可测集
  • $E_{[f \leq c]}$ 为可测集

常见可测函数

可测集上的简单函数为为可测函数。

连续函数和单调函数为可测函数。

可测函数的运算(加、减、乘、除、平方、绝对值)均为可测函数。

可测函数列上下极限为可测函数。

零测集上的函数为可测函数。

可测函数的简单函数逼近定理

可测函数可由一列单调递增的简单函数逼近。

叶戈罗夫定理

命题 $\pi$ 几乎处处成立($a.e.$):$\pi$ 在 $E$ 去掉一个零测集后成立。

命题 $\pi$ 基本上成立:$\pi$ 在 $E$ 去掉一个任意测度小的集合后都成立。

叶戈罗夫定理:在有界集中,一列几乎处处有限的可测函数 $f_i$ 点点收敛于 $f$,则 $f_i$ 基本上一致收敛于 $f$。

卢津定理

可测函数是基本上连续函数,逆命题:基本上连续可知为为可测函数。

依测度收敛

一列可测函数 $f_i (i=1,2,3,\dots)$ 依测度收敛:对任意的误差 $\delta>0$,

$$
\lim_{i=1}^{\infty}m(E_{[|f_i - f|>\delta]}) = 0
$$

里斯(Rizes)定理:$f_i$ 依测度收敛 $f$,存在子列 $f_{ik}$ 点点收敛于 $f$(有界集中,任意子列都存在子列收敛,则原子列依测度收敛)

勒贝格定理:有界集中,$f_i$ 点点收敛 $f$, 则 $f_i$ 依测度收敛 $f$。

Lebesgue 积分

非负简单函数的 lebesgue 积分定义,性质(线性,积分区域可加性,积分区域极限),以及在子集上的积分。

非负可测函数的 lebeshue 积分定义,性质(零测集的积分,勒贝格可积(几乎处处有限),积分为 0 则几乎处处为 0,积分区域可加性,线性)

Levi 定理:单调非负可测函数列的积分等于极限的积分。

fatou 定理:一列可测函数下极限的积分小于等于积分的下极限。