泛函分析

拓扑空间

定义: 在一个集合 $X$ 上定义拓扑 $\tau$，满足以下三条性质

• $X$ 和 $\varnothing$ 属于 $\tau$
• $\tau$ 里的任意集合的并集属于 $\tau$
• $\tau$ 里有限集合的交集属于 $\tau$

称 $\left (X,\tau\right)$ 为一个拓扑空间，简记为 $X$，$\tau$ 的集合称为开集。

在拓扑空间上可以定义闭集、聚点、内点、邻域等概念。

定义: 拓扑基 $B$，B 是 $\tau$ 的子集族，满足 $X$ 中的开集都可以用 $B$ 集合的并集表示。拓扑基的定义等价于：

• $\forall x \in X,\exist G \in B,x \in G$
• $if x\in G_1 \cap G_2 , G_1 \in B,G_2 \in B ,\exist G \in B,x\in G$

距离空间

定义:$X$ 为一个集合，$d$ 为其上的函数，$d:X\rightarrow (0,+\infty)$，满足 $\forall x,y,z\in X$:

• $d(x,y) \geq 0, d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$
• $d(x,y) = d(y,x)$
• $d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$

称 $(X,d)$ 为距离空间，简记为 $X$。

集合上的距离不唯一，可证明：若 $d$ 为 $X$ 上的距离，那么 $d_1 = \frac {d}{1+d}$ 也是 $X$ 上的距离。

根据距离可以定义邻域、开集、闭集、内点、聚点等。

定义: 子空间，$X$ 为距离空间，$A \subset X$，则 $(A,d)$ 也为距离空间，称为 $X$ 的子空间。

定义: 紧空间，$X$ 为紧空间，对于一列开覆盖 ${U_\alpha}$，$\bigcup_{\alpha} U_{\alpha} = X$，存在有限个 $U_i$，使得 $\bigcup_{i=1}^{N} U_{\alpha} = X$。

• 紧空间的无穷子集必有聚点。
• 紧空间的紧集，作为距离空间是紧空间。
• 紧集是有界闭集。

赋范空间

定义:$X$ 为线性空间，函数 $||・||\colon X \mapsto \mathbb {R}$，满足

• $||x|| \geq 0 , \forall x \in X$
• $||ax|| = |a|||x||, \forall a \in \mathcal{K}$
• $||x + y|| \leq ||x|| + ||y||$

范数的性质:

• 范数为连续函数，例如 $x_n \to x_0 (n \to \infty) \Rightarrow ||x_n|| \to ||x_0||$

$$||,||x_n||-||x_0||,|| \leq ||x_n - x_0||$$

内积空间

定义: 设 $X$ 为线性空间，函数 $\langle,\rangle\colon X \times X \mapsto \mathcal {K}$，满足

• $\langle x,y \rangle = \langle y,x \rangle , \forall x,y \in X$
• $\langle ax+by,z \rangle = a\langle x,z \rangle + b\langle y,z \rangle$
• $\langle x,y\rangle \geq 0,\langle x,y\rangle = 0 \Leftrightarrow x = y$

正交:$x,y\in X,\langle x,y \rangle = 0$，记为 $x \perp y$
正交补:$x \in X,A \subset X, \forall y \in A, \langle x,y \rangle = 0$

Cauchy-Schwarz 不等式

$$\begin{equation*}
|\langle x,y \rangle|^2 \leq \langle x,x \rangle · \langle y,y \rangle
\end{equation*}$$

证明思路：由 $0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle$，并取合适的 $\lambda$ 即可。

Banach 空间

定义: 完备的赋范空间称为 Banach 空间。完备性指的是柯西序列收敛，如果收敛到其他空间里，就不能称为收敛。
例子:

• 有理数不是 Banach 空间。$x_n = 1 + \frac {1}{n}$ 为有理数上的柯西列，但是却不收敛于有理数。
• $\ell_{p},1 \leq p \leq +\infty$ 空间（$\left (\sum_{k=1}^{\infty}{\xi_{k}^p}\right)^{1/p} < \infty$，$p = +\infty$ 时为有界实数列）均为 Banach 空间。
• 闭区间上的连续函数 $C\left (a,b\right)$ 是 Banach 空间。

判断方法

• 根据定义，证明柯西序列收敛。
• 只要有 $\sum_{n=1}^{\infty}{||x_n||} < \infty$，就有 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ 收敛。

性质

• 闭球套定理，在实数空间上退化为闭区间套定理。
• 压缩映射定理，直观解释为一个人拿着一副所在城市的地图，不管他在这个城市的哪个位置，一定会有地图上的点与它所在的点完全重合，这个点就是压缩映射里的不动点。

Hilbert 空间

定义: 在内积空间 $X$ 上定义范数为 $||x|| = \sqrt {\langle x,x \rangle}$，如果 $X$ 作为赋范空间是完备的，就称 $X$ 为 Hilbert 空间。
性质:

• 勾股定理：$x\perp y \Rightarrow ||x + y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2$
• 平行四边形：$||x+y||^2 + ||x-y||^2 = 2||x||^2 + 2||y||^2$

Riesz 表示定理

$X$ 为 Hilbert 空间，$f$ 为任意有界线性泛函，存在且唯一 $h_0 \in X$，使得：
$$
f(x) = \langle x,h_0 \rangle
$$
且 $$||f|| = ||h_0||$$