泛函分析

拓扑空间

定义: 在一个集合 $X$ 上定义拓扑 $\tau$，满足以下三条性质

• $X$ 和 $\varnothing$ 属于 $\tau$
• $\tau$ 里的任意集合的并集属于 $\tau$
• $\tau$ 里有限集合的交集属于 $\tau$

称 $\left (X,\tau\right)$ 为一个拓扑空间，简记为 $X$，$\tau$ 的集合称为开集。

在拓扑空间上可以定义闭集、聚点、内点、邻域等概念。

本来打算 7 月 4 日考完回家的我，稀里糊涂的报了暑假小学期数模培训，一直弄到 7 月 24 日才回家，期间不仅经历培训的折磨还有等待成绩的焦灼，其中自认为学的不错的实变函数竟然出奇的低，低到什么程度呢？

本着不想从各种源码中翻来覆去找函数方法，故将已经封装好的函数方法收集，方便用时直接复制。

集合论

集合的代数运算性质

满足幂等性、零元性、交换性、结合律、分配律、单调性

$$ S - \bigcup_{i=1}^{\infty}E_{i} = \bigcap_{i=1}^{\infty}\left(S-E_i\right) $$

$$ S - \bigcap_{i=1}^{\infty}E_{i} = \bigcup_{i=1}^{\infty}\left(S-E_i\right) $$

上限集和下限集

$$ \varliminf_{n \to \infty}E_n = \bigcup_{m=1}^{\infty} \bigcap_{n=m}^{\infty} E_n$$

以下定义和性质针对于离散状态、离散时间的时齐马可夫链。

一些说明

事物所处的状态（通常用 $1,2,3\dots$ 表示）称为状态，状态的全体称为状态空间（记为 $S$）。